Исторический очерк о великом математике Карле Фридрихе Гауссе

Исторический очерк о великом математике Карле Фридрихе Гауссе

Математик и историк математики Джереми Грей рассказывает Гауссе и его огромном вкладе в науку, о теории квадратичных форм, открытии Цереры, и неевклидову геометрию*

Портрет Гаусса Эдуарда Ритмюллера на террасе обсерватории Геттингена // Карл Фридрих Гаусс: Титан науки Г. Уолдо Даннингтона, Джереми Грея, Фриц-Эгберт Дохе

Карл Фридрих Гаусс был немецким математиком и астрономом. Он родился у бедных родителей в Брауншвейге в 1777 году и скончался в Геттингене в Германии в 1855 году, и к тому времени все, кто его знал, считали его одним из величайших математиков всех времен.

Изучение Гаусса

Как мы изучаем Карла Фридриха Гаусса? Ну, когда дело доходит до его ранней жизни, мы должны полагаться на семейные истории, которыми поделилась его мать, когда он стал знаменитым. Конечно, эти истории склонны к преувеличению, но его замечательный талант был заметен, уже когда Гаусс был в раннем подростковом возрасте. С тех пор у нас появляется все больше записей о его жизни.
Когда Гаусс вырос и стал замечен, у нас начали появляться письма о нем людьми, которые его знали, а также официальными отчетами разного рода. У нас также есть длинная биография его друга, написанная на основе бесед, которые они имели в конце жизни Гаусса. У нас есть его публикации, у нас очень много его писем к другим людям, и много материала он написал, но так и не опубликовал. И, наконец, у нас есть некрологи.

Ранняя жизнь и путь к математике

Отец Гаусса занимался различными делами, был рабочим, мастером строительной площадки и купеческим ассистентом. Его мать была умной, но едва грамотной, и посвятила всю себя Гауссу до самой своей смерти в возрасте 97 лет. Похоже, что Гаусс был замечен как одаренный ученик еще в школе, в одиннадцать лет, его отца убедили отправить его в местную академическую школу, вместо того, чтобы заставить его работать. В то время Герцог Брауншвейгский стремился модернизировать своё герцогство, и привлекал талантливых людей, которые бы помогли ему в этом. Когда Гауссу исполнилось пятнадцать, герцог привел его в коллегию Каролинум для получения им высшего образования, хотя к тому времени Гаусс уже самостоятельно изучил латынь и математику на уровне высшей школы. В возрасте восемнадцати лет он поступил в Геттингенский университет, а в двадцать один уже написал докторскую диссертацию.

Первоначально Гаусс собирался изучать филологию, приоритетный предмет в Германии того времени, но он также проводил обширные исследования по алгебраическому построению правильных многоугольников. В связи с тем, что вершины правильного многоугольника из N сторон задаются решением уравнения (что численно равно . Гаусс обнаружил, что при n = 17 уравнение факторизуется таким образом, что правильный 17-сторонний многоугольник может быть построен только по линейке и циркуля. Это был совершенно новый результат, греческие геометры не подозревали об этом, и открытие вызвало небольшую сенсацию — новости об этом даже были опубликованы в городской газете. Этот успех, который пришел, когда ему едва исполнилось девятнадцать, заставил его принять решение изучать математику.

Но то, что сделало его знаменитым, было два совершенно разных явления в 1801 году. Первым было издание его книги под названием «Арифметические рассуждения», которая полностью переписала теорию чисел и привела к тому, что она( теория чисел) стала, и до сих пор является, одним из центральных предметов математики. Она включает в себя теорию уравнений вида x ^ n — 1, являющейся одновременно очень оригинальной и в то же время легко воспринимаемой, а также гораздо более сложную теорию, называемую теорией квадратичной формой. Это уже привлекло внимание двух ведущих французских математиков, Джозефа Луи Лагранжа и Адриена Мари Лежандра, которые признали, что Гаусс ушел очень далеко за пределы всего того, что они делали.

Вторым важным событием было повторное открытие Гауссом первого известного астероида. Он был найден в 1800 году итальянским астрономом Джузеппе Пьяцци, который назвал его Церерой в честь римской богини земледелия. Он наблюдал ее в течение 41 ночи, прежде чем она исчезла за солнцем. Это было очень захватывающее открытие, и астрономы очень хотели знать, где он появится снова. Только Гаусс рассчитал это правильно, чего не сделал никто из профессионалов, и это сделало его имя как астронома, которым он и остался на многие годы вперед.

Поздняя жизнь и семья

Первая работа Гаусса была математиком в Геттингене, но после открытия Цереры, а затем и других астероидов он постепенно переключил свои интересы на астрономию, а в 1815 году стал директором Геттингенской обсерватории, и занимал эту должность почти до самой смерти. Он также оставался профессором математики в Геттингенском университете, но это, похоже, не требовало от него большого преподавания, а записи о его контактах с молодыми поколениями была довольно незначительной. Фактически, он, кажется, был отчужденной фигурой, более комфортной и общительной с астрономами, и немногими хорошими математиками в его жизни.

В 1820-х годах он руководил массированным исследованием северной Германии и южной Дании и в ходе этого переписывал теорию геометрии поверхностей или дифференциальную геометрию, как ее называют сегодня.

Гаусс женился дважды, в первый раз довольно счастливо, но когда его жена Джоанна умерла во время родов в 1809 году, он снова женился на Минне Вальдек, но этот брак оказался менее успешным; Она умерла в 1831 году. У него было трое сыновей, двое из которых эмигрировали в Соединенные Штаты, скорее всего, потому что их отношения с отцом были проблемными. В результате в Штатах существует активная группа людей, которые ведут свое происхождение от Гаусса. У него также было две дочери, по одной от каждого брака.

Величайший вклад в математику

Рассматривая вклад Гаусса в этой области, мы можем начать с метода наименьших квадратов в статистике, который он изобрел, чтобы понять данные Пьяцци и найти астероид Церера. Это был прорыв в усреднении большого количества наблюдений, все из которых были немного не точными, чтобы получить из них наиболее достоверную информацию. Что касается теории чисел, говорить об этом можно очень долго, но он сделал замечательные открытия о том, какие числа могут быть выражены квадратичными формами, которые являются выражениями вида . Вам может казаться, что это важно, но Гаусс превратил то, что было собранием разрозненных результатов в систематическую теорию, и показал, что многие простые и естественные гипотезы имеют доказательства, которые лежат в том, что похоже на другие разделы математики вообще. Некоторые приемы, которые он изобрел, оказались важными и в других областях математики, но Гаусс обнаружил их еще до того, как эти ветви были правильно изучены: теория групп — пример.

Его работа по уравнениям вида и, что более удивительно, по глубоким особенностям теории квадратичных форм, открыла использование комплексных чисел, например, для доказательства результатов о целых числах. Это говорит о том, что многое происходило под поверхностью предмета.

Позже, в 1820-х годах, он обнаружил, что существует концепция кривизны поверхности, которая является неотъемлемой частью поверхности. Это объясняет, почему некоторые поверхности не могут быть точно скопированы на другие, без преобразований, как мы не можем сделать точную карту Земли на листе бумаги. Это освободило изучение поверхностей от изучения твердых тел: у вас может быть яблочная кожура, без необходимости представления яблока под ней.

Поверхность с отрицательной кривизной, где сумма углов треугольника меньше, чем у треугольника на плоскости //source:Wikipedia

В 1840-х годах, независимо от английского математика Джорджа Грина, он изобрел предмет теории потенциала, который является огромным расширением исчисления функций нескольких переменных. Это правильная математика для изучения гравитации и электромагнетизма и с тех пор используется во многих областях прикладной математики.

И мы также должны помнить, что Гаусс открыл, но не опубликовал довольно много. Никто не знает, почему он так много сделал для себя, но одна теория состоит в том, что поток новых идей, которые он держал в голове был еще более захватывающим. Он убедил себя в том, что геометрия Евклида не обязательно истинна и что по крайней мере одна другая геометрия логически возможна. Слава этому открытию досталась двум другим математикам, Бойяю в Румынии-Венгрии и Лобачевскому в России, но только после их смерти — настолько это было спорно в то время. И он много работал над так называемыми эллиптическими функциями — вы можете рассматривать их как обобщения синусоидальных и косинусных функций тригонометрии, но, если более точно, они являются сложными функциями комплексной переменной, а Гаусс изобрел целую теорию из них. Десять лет спустя Абель и Якоби прославились тем, что сделали то же самое, не зная, что это уже сделал Гаусс.

Работа в других областях

После своего повторного открытия первого астероида, Гаусс много работал над поиском других астероидов и вычислением их орбит. Это была трудная работа в докомпьютерную эпоху, но он обратился к своим талантам, и он, похоже, почувствовал, что это работа позволила ему выплатить свой долг принцу и обществу, которое дало ему образование.

Кроме того, во время съемки в северной Германии он изобрел гелиотроп для точной съемки, а в 1840-х годах он помог создать и построить первый электрический телеграф. Если бы он также подумал об усилителях, он мог бы отметиться и в этом, так как без них сигналы не могли путешествовать очень далеко.

Прочное Наследие

Есть много причин, почему Карл Фридрих Гаусс по-прежнему так актуален сегодня. Прежде всего, теория чисел превратилась в огромный предмет с репутацией очень сложного. С тех пор некоторые из лучших математиков тяготеют к нему, и Гаусс дал им способ приблизиться к нему. Естественно, некоторые проблемы, которые он не смог решить, привлекли к себе внимание, поэтому вы можете сказать, что он создал целую область исследований. Оказывается, у этого также есть глубокие связи с теорией эллиптических функций.

Кроме того, его открытие внутренней концепции кривизны обогатило все изучение поверхностей и вдохновило на многие годы работы последующие поколения. Любой, кто изучает поверхности, от предприимчивых современных архитекторов до математиков, находится у него в долгу.

Внутренняя геометрия поверхностей простирается до идеи внутренней геометрии объектов более высокого порядка, таких как трехмерное пространство и четырехмерное пространство-время.

Общая теория относительности Эйнштейна и вся современная космология, в том числе изучение черных дыр, стали возможными благодаря тому, что Гаусс совершил этот прорыв. Идея неевклидовой геометрии, столь шокировавшая в свое время, заставляла людей осознавать, что может быть много видов строгой математики, некоторые из которых могут быть более точными или полезными — или просто интересными -, чем те, о которых мы знали.

Неевклидова геометрия // источник: Numberphile

Человек за легендой

Жизнь Гаусса породила много историй и анекдотов. Например, как ни невероятно, его мать любила говорить, что никто не преподавал основы арифметики Гауссу, но он сам справился с ней, слушая своего отца на работе. Несомненно, он был одним из немногих математиков с необычайной способностью к умственной арифметике и мог быстро и аккуратно проводить длинные вычисления в уме. Также сообщалось, что его сыновья говорили, что он отговаривал их от продолжения карьеры в науке, потому что «он не хотел, чтобы имя Гаусса ассоциировалось со второсортной работой».

В том же духе у него была пугающая привычка говорить людям, что он уже знал то, что они только что обнаружили. Наиболее известный случай, когда его старый университетский друг Фаркаш Бойаи написал ему, приложив копию открытия своего сына Яноса неевклидовой геометрии, Гаусс ответил, что он не может похвалить работу, заявив — «потому, что делать это все равно, что хвалить себя». Это не только преувеличивало то, что знал Гаусс в 1831 году, он и не сделал ничего, чтобы помочь молодому Бойи получить признание за его работу, и Янош настолько разочаровался, что больше никогда не публиковал его.

Однако у вас не должно создаться впечатления, что Гаусс был неприятным человеком. Он был принципиальным человеком, он был счастлив принять Софи Жермен как серьезного математика в то время, когда женщины были исключены из высшего образования, и он всегда стремился использовать свои таланты для продуктивного использования. Но его исключительные таланты, и, хотя мы можем только порадоваться за них, Радакторвероятно, сделали его очень одиноким.

Джереми Грей, доктор, заслуженный пр.фессор истории математики, Открытый университет.

Человек в шапочке: история Карла Гаусса, крестьянского сына и короля математики

Нормальное распределение, гауссиана, закон Гаусса, который входит в систему уравнений Максвелла, метод решения уравнений Гаусса — если мы продолжим, предисловие быстро перерастет в список открытий, сделанных Карлом Гауссом, величайшим из математиков, научная жизнь которого была во много раз насыщеннее личной.

Судьба играет человеком; читая биографии, понимаешь это особенно ясно. Ребенок (девочка или мальчик, судьбе все равно) может родиться в дворянской семье, как Рене Декарт или Софья Ковалевская, в крестьянской, как Леонтий Магницкий или в фермерской, как Исаак Ньютон — но если человеку суждено стать ученым, изменить мир — с ним это случится, вопреки обстоятельствам. И жизнь профессора Карла Гаусса тому пример самый что ни на есть яркий.

Стипендия герцога Брауншвейгского

Гебхард Дидерих Гаусс, отец Карла, крестьянский сын, был садовником, каменщиком, фонтанным мастером, водопроводчиком — а еще отличался умением хорошо считать: со счетом он помогал купцам на брауншвейгских ярмарках, вел расчеты в похоронном бюро. Но все-таки большинство биографов считают, что от отца Гауссу досталось крепкое здоровье, а интеллект он унаследовал от матери, Доротеи Бенц. Умна, но неграмотна — такова была мать будущего короля математиков: она не записала дату рождения сына, но помнила, что он родился в среду, за восемь дней до Вознесения, в 1777 году, на канале Венденгребене в Брауншвейге. Через двадцать два года ее гениальный сын вычислит точную дату своего рождения (30 апреля) и попутно разработает метод определения дня Пасхи на любой год — а еще будет всю жизнь очень предан матери.

Позже, вспоминая детство, Гаусс говорил, что считать он научился раньше, чем говорить, а в три года мог найти ошибку в вычислениях отца.

В семь лет маленький Гаусс поступил в Екатерининскую народную школу. Считать там начинали учить с третьего класса, так что два года его таланты оставались нераскрытыми.

В третий класс попадали ученики разного уровня подготовки: учитель давал им разные задания, чтобы занять длинными вычислениями. Например, мог попросить посчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 100; и десятилетний Гаусс ответил буквально сразу после того, как учитель закончил диктовать — за это время он успел переоткрыть сумму арифметической прогрессии (и оказаться единственным, получившим верный ответ).

Мартин Бартельс, молодой помощник учителя математики в школе (впоследствии он будет учить Лобачевского в Казани), обнаружил, как талантлив мальчик, и смог добиться для ребенка каменщика персональной стипендии от герцога Брауншвейгского — в начале XIX века покровительствовать науке хотели все властители. Мальчик иногда появлялся при дворе и поражал придворных своим искусством счета.

Правильный семнадцатиугольник

Благодаря помощи Бартельса Карлу Гауссу удалось поступить в гимназию — в одиннадцать лет. Тут он увлекся латынью, английским и французским. Изучение языков так ему нравилось и так хорошо давалось, что впоследствии он выучит и русский — по одной из легенд, чтобы читать Лобачевского в оригинале. Лингвистика настолько захватила будущего гения, что довольно долго он колебался — не мог выбрать между латынью и математикой.

С 1792 по 1795 Гаусс учился в колледже Каролинум (сегодня это технический университет Брауншвейга), посещая столько же лекций по языкам, сколько по математике; и попутно переоткрыл уже известные математические законы — метод наименьших квадратов и другие. А еще начал заниматься нормальным распределением.

Каждый третий современный математик — научный потомок Ньютона, Эйлера или Гаусса. Как так вышло?

Клейн, биограф Гаусса, пишет, что из любви к счету Гаусс постоянно производил над числами разные операции — умножал десятичные дроби в уме — для удовольствия, разумеется — и постепенно накопил огромный материал для наблюдений, выводов, расширив кругозор в области чисел.

В 1795, благодаря поддержке герцога, многообещающий вундеркинд поступает в Геттингенский университет — и математика наконец становится главным его увлечением. Гаусс составляет огромные таблицы простых чисел, квадратичных вычетов, результатов делений с периодами в остатке, а еще его начинает занимает зависимость периода от знаменателя. Он читает Эйлера и Лагранжа и считает, считает, считает — с прилежанием и тщанием.

В 1796 году он находит возможность построения правильного семнадцатиугольника при помощи циркуля и линейки

И попутно решает вопрос построения правильных х-угольников для определенных значений х. Гаусс гордился этим решением: он даже просил изобразить на своей могиле правильный семнадцатиугольник, вписанный в круг. Правда, убедить высечь на собственном надгробии круг и семнадцатиугольник оказалось сложнее (его там нет), чем найти решение вопроса. В итоге памятник Гауссу в Брауншвейге стоит на семнадцатиугольном постаменте — тоже вариант.

»…я случайно натолкнулся на одну изумительную арифметическую истину, и так как она не только показалась мне прекрасной сама по себе, но и навела на мысль, что она связана и с другими выдающимся фактами, я со всей энергией взялся за то, чтобы выяснить принципы, на которых она основывается, и получить строгое ее доказательство. После того как это желание, наконец, осуществилось, прелесть этих исследований настолько увлекла меня, что я уже не мог их оставить».

Карл Гаусс, «Арифметические исследования»

О «золотой теореме»

Первую запись в дневнике своих открытий Карл Гаусс сделал 30 марта 1796 года — когда он научился строить правильные х-угольники для определенных значений х. Кстати, и поныне решение этой задачи многие считают самым величайшим из сделанных математических открытий.

Гаусса не сразу поняли: например, норвежский математик Абель жаловался, что понять теорию деления круга на равные промежутки совсем не так просто; зато когда он постиг ход рассуждений Гаусса, то восхитился и назвал его гением.

Это открытие, «проба сил гауссова гения», по свидетельству его биографа, было сделано Гауссом в 18 лет!

Годы, проведенные в университете, примечательны многими открытиями Гаусса; совсем не все свои догадки он, как и Ньютон, публиковал. Например, он до Лобачевского открыл неевклидову геометрию, занимался теорией эллиптических уравнений — но результаты исследований, которые он считал незавершенными и которыми не был доволен, не печатал. Зато среди его работ не было ни одной, не отточенной до блеска или незавершенной. Собственным его девизом было «Pauca sed matura» («Немного, но зрело»).

Самой замечательной стала, без сомнения, книга «Арифметические исследования» 1801 года: арифметику Гаусс называл любимейшей наукой многих математиков и сам признавался в том, что теория чисел — его первая и главная любовь. Эта огромная (более 500 страниц!) книга содержала много результатов по теории чисел и высшей арифметике и была посвящена герцогу. Она оказала и до сих пор оказывает огромное влияние на труды по алгебраической теории чисел.

Небесная механика и потерянная Церера

В 1798 Гаусс в Гельмштадте подготовил диссертацию по основной теореме алгебры: всякий многочлен с действительными коэффициентами раскладывается в произведение многочленов первой и второй степени. Кроме того, он занимается эллиптическими функциями и изучает лемнискату Бернулли. Он долгое время не публиковал результаты своих исследований, считая, что некуда торопиться, пока в 1827 Абель и Якоби опубликовали собственные работы на эту тему.

После «Арифметических исследований» круг интересов и работ Гаусса меняется: он занимается небесной механикой (и открывает методы расчета орбит планет по малому числу наблюдений), картографией, геодезией, дифференциальной геометрией и теорией поверхностей. Кроме того, двадцатилетний Гаусс исследует элементы магнитного поля. Позже его работы станут началом теории потенциала, а ряд других работ приведут к возникновению методов статистических вычислений.

В 1799 Карл Гаусс становится приват-доцентом Брауншвейгского университета, а в 1801 (посчитайте, сколько Гауссу лет в это время?) — членом-корреспондентом Петербургской академии наук. В том же году методом вычислений он обнаруживает потерянную малую планету Цереру, это приносит ему общеевропейскую славу; а герцог увеличивает стипендию. Тем не менее, в 1801 году Гаусс перестает регулярно вести математический дневник — все основные свои математические открытия он сделал с 1796 по 1801 год, с 18 до 24 лет!

Девственник в снежном саване: как жил Исаак Ньютон — «последний из магов»

Слава Гаусса становится общеевропейской. Многие научные общества Европы дают Гассу членство, герцог увеличивает пособие, а интерес ученого к астрономии ещё более возрастает. Плюс в то время он решает жениться. Но содержать семью только на стипендию и зарплату доцента было невозможно, а вот за работу в обсерватории платили куда лучше. Гауссу даже предложили должность при Петербургской обсерватории, и он чуть не выехал в Россию; но Гумбольдт составляет ему протекцию и рекомендует профессором в Геттингенский университет.

В 1805 году Гаусс женился на Иоганне Остгоф, в то время он писал, что «жизнь представлялась ему весной со всегда новыми цветами». Это было счастливое время, но в 1809 году Иоганна и их сын умерли.

В то же время Наполеон обложил Геттинген налогом (за Гаусса его уплатил курфюрст Майнцский, друг Гете); зато увидела свет «Теория движения небесных тел», главная работа Гаусса по астрономии. В 1810 году Гаусс женился на подруге Иоганны, Минне Вальдек. В этом браке у него родятся трое детей.

Ученого продолжают чествовать и награждать премиями, а комету 1812 года везде наблюдают по расчетам Гаусса.

Гауссова кривизна

В 1820-м году Гауссу поручают геодезическую съёмку Ганновера для построения точных карт. Гаусс разрабатывает методы приложения собственных расчетов к высшей геодезии и сам проводит съемку местности — представьте себе сегодняшнего философского, к примеру, лауреата с геодезическими инструментами — буссолем, алидадой или ватерпасом в чистом поле — и удивитесь, как удивлялись современники профессора.

Но ученый всегда ученый: из картографической съемки ганноверских лугов и косогоров вырастает теория поверхностей, гауссова кривизна, дифференциальная геометрия — именно они в итоге вдохновят Римана на цикл работ о римановой геометрии. В то время Гаусс знакомится с работами Лобачевского и способствует избранию его почетным профессором Геттингенского университета; однако сам не публикует свои работы по неевклидовой геометрии.

«Я прихожу всё более к убеждению, что необходимость нашей геометрии не может быть доказана, по крайней мере человеческим рассудком и для человеческого рассудка. Может быть, в другой жизни мы придём к взглядам на природу пространства, которые нам теперь недоступны. До сих пор геометрию приходится ставить не в один ранг с арифметикой, существующей чисто a priori, а скорее с механикой».

Карл Фридрих Гаусс

Наконец, физика!

К концу 20-х годов почти пятидесятилетний Гаусс ищет для себя новую точку приложения сил и решает заняться физикой. Но не сразу определяется, чем именно хочет заняться: механикой, кристаллографией, электродинамикой? В 1831 году умирает Минна, его вторая жена, у Карла Фридриха начинается тяжелая бессонница, и только когда в Геттинген по личному приглашению Гаусса (они познакомились в гостях у фон Гумбольдта) перебирается молодой физик Вильгельм Вебер, у замкнутого Гаусса появляется товарищ по занятиям наукой. В Геттингене им поставлен двойной памятник.

Вебер и Гаусс занялись электродинамикой и земным магнетизмом: изобрели электромагнитный телеграф, начали разрабатывать теорию потенциала и электростатики. К сожалению, в 1837 году Вебера увольняют из Геттингена — он подписал письмо о нарушении королем конституционных свобод. В следующий раз они увидятся, тогда когда Гауссу будет 72.

В 1839 Гаусс просит Российскую академию наук прислать ему русские книги и журналы, в том числе «Капитанскую дочку» Пушкина.

Лишь в 1855, когда Гаусса не стало и был открыт его архив, стал ясен список открытий, которые он сделал до их официальных первооткрывателей.

Что Гаусс открыл, но не опубликовал при жизни

• Разработка неевклидовой геометрии до работ Лобачевского и Бойяи
• Эллиптические функции до Якоби и Абеля
• Теория кватернионов до Гамильтона
• Метод наименьших квадратов и закон распределения простых чисел до Лежандра
• В дневниках и письмах Гаусса есть заметки, которые можно счесть топологическими

«Pauca sed matura»

Что остается от человека? От Карла Фридриха Гаусса остались 21 теорема, закон методов в науке, не считая названных в его честь явлений; вулкан в Антарктиде, медаль с надписью «Король математики» и самая наивысшая награда в прикладной математике — Премия Гаусса, присуждаемая раз в четыре года Международным математическим союзом.

• 
• 

Банкнота в 10 марок с портретом Карла Гаусса. Фото: Немецкий федеральный банк, Франкфурт-на-Майне, Германия.

О Гумбольдте и Гауссе, двух замечательных немецких ученых, Даниэль Кельман написал роман «Измеряя мир», где сталкиваются два подхода — научно-исследовательский нетерпеливого и любопытного барона Александра фон Гумбольдта и сосредоточенного погружения в себя Карла Фридриха Гаусса, который замечает, что человеку для занятия наукой не нужно ничего, кроме чистого листа перед собой и сосредоточенного внимания.

«Гаусс напоминает мне образ высочайшей вершины баварского горного хребта, какой она предстает перед глазами наблюдателя, глядящего с севера. В этой горной цепи в направлении с востока на запад отдельные вершины подымаются все выше и выше, достигая предельной высоты в могучем, высящемся в центре великане; круто обрываясь, этот горный исполин сменяется низменностью новой формации, в которую на много десятков километров далеко проникают его отроги, и стекающие с него потоки несут влагу и жизнь».

Феликс Клейн

На обложке: Портрет Карла Фридриха Гаусса, 1840 год. Автор: Христиан Альбрехт Йенсен

Достижения в других научных сферах

Вице-гелиотроп. Латунь, золото, стекло, красное дерево (создан до 1801 года). С рукописной надписью: «Собственность господина Гаусса». Находится в Университете Гёттингена, первый Физический институт.

Настоящую известность Карлу Гауссу принесли вычисления, с помощью которых он определил положение планеты Цереры, открытой в 1801 году.

В последующем ученый не раз возвращается к астрономическим исследованиям. В 1811 году он рассчитывает орбиту новообнаруженной кометы, делает вычисления для определения расположения кометы «пожара Москвы» в 1812 году.

В 20-х годах 19 века Гаусс работает в сфере геодезии. Именно он создал новую науку – высшую геодезию. Также разрабатывает вычислительные методы для проведения геодезической съемки, издает цикл трудов по теории поверхностей, вошедших в публикацию «Исследования относительно кривых поверхностей» в 1822 году.

Обращается ученый и к физике. Он развивает теории капиллярности и системы линз, закладывает основы электромагнетизма. Совместно с Вильгельмом Вебером изобретает электрический телеграф.

Карл Фридрих Гаусс: восхождение на престол

С первых лет Гаусс отличался феноменальной памятью и выдающимися способностями к точным наукам. Всю свою жизнь он совершенствовал свои познания и систему счета, что принесло человечеству множество великих изобретений и бессмертных трудов.

Маленький принц математики

Карл родился в Брауншвейге, в Северной Германии. Это событие произошло 30 апреля 1777 года в семье бедного рабочего Герхарда Дидериха Гаусса. Хотя Карл был первым и единственным ребенком в семье, у отца редко находилось время на воспитание мальчика. Чтобы как-то прокормить семью, ему приходилось хвататься за любую возможность заработать: обустройство фонтанов, садовничество, каменные работы.

Большую часть своего детства Гаусс провел вместе с матерью Доротеей. Женщина души не чаяла в своем единственном сыне и, в дальнейшем, безумно гордилась его успехами. Она была веселой, умной и решительной женщиной, но, в силу своего простого происхождения, – неграмотной. Поэтому, когда маленький Карл, попросил научить его писать и считать, помочь ему оказалось нелегкой задачей.

Впрочем, мальчик не потерял энтузиазма. При любой удобной возможности он расспрашивал взрослых: «Что это за значок?», «Какая это буква?», «Как это прочитать?». Таким нехитрым способом он смог выучить весь алфавит и все цифры уже в трехлетнем возрасте. Тогда же ему поддались и самые простые операции счета: сложение и вычитание.

Как-то раз, когда Герхард снова снял подряд на каменные работы, он расплачивался с рабочими в присутствии маленького Карла. Внимательный ребенок в уме успел пересчитать все озвученные отцом суммы, и тут же нашел ошибку в его подсчетах. Герхард усомнился в правоте своего трехлетнего сына, но, пересчитав, действительно, обнаружил неточность.

Пряники вместо кнута

Когда Карлу исполнилось 7, родители отдали его в народную Екатерининскую школу. Всеми делами здесь заведовал немолодой и строгий учитель Бюттнер. Главным методом воспитания у него были телесные наказания (впрочем, как и везде в то время). В устрашение при себе Бюттнер носил внушительный хлыст, которым первое время попадало и маленькому Гауссу.

Сменить гнев на милость Карлу удалось достаточно быстро. Как только прошел первый урок по арифметике, Бюттнер кардинально изменил отношение к смышленому мальчику. Гауссу удавалось решать сложные примеры буквально на лету, используя оригинальные и нестандартные методы.

Так на очередном уроке Бюттнер задал задачу: сложить все числа от 1 до 100. Как только учитель закончил объяснять задание, Гаусс уже сдал свою табличку с готовым ответом. Позже он пояснил: «Я не складывал числа по порядку, а разделил их попарно. Если сложить 1 и 100 – получим 101. Если сложить 99 и 2 – тоже 101, и так далее. Я умножил 101 на 50 и получил ответ». После этого Гаусс стал любимым учеником.

Таланты мальчика заметил не только Бюттнер, но и его помощник – Христиан Бартельс. На свое небольшое жалование он покупал учебники по математике, по которым занимался сам и учил десятилетнего Карла. Эти занятия привели к ошеломительным результатам – уже в 1791 году мальчика представили герцогу Брауншвейгскому и его приближенным особам, как одного из самых талантливых и перспективных учеников.

Циркуль, линейка и Геттинген

Герцог был в восторге от юного дарования и пожаловал Гауссу стипендию в размере 10 талеров в год. Только благодаря этому, мальчику из бедной семьи удалось продолжить обучение в самой престижной школе – Каролинской коллегии. Там он получил необходимую подготовку и в 1895 году с легкостью поступил в Геттингенский университет.

Здесь Гаусс совершает одно из своих величайших открытий (по мнению самого ученого). Юноше удалось рассчитать построение 17-угольника и воспроизвести его с помощью линейки и циркуля. Другими словами, он решил уравнение х17- 1 = 0 в квадратичных радикалах. Это показалось Карлу настолько значимым, что в этот же день он начал вести дневник, в котором завещал начертить 17-угольник на своем надгробии.

Работая в этом же направлении, Гауссу удается построить правильный семи- и девятиугольник и доказать, что возможно построение многоугольников с 3, 5, 17, 257 и 65337 сторонами, а также с любым из этих чисел, умноженным на степень двойки. Позже эти числа нарекут «простыми гауссовыми».

Звезды на кончике карандаша

В 1798 году Карл покидает университет по неизвестным причинам и возвращается в родной Брауншвейг. При этом свою научную деятельность молодой математик и не думает приостанавливать. Наоборот, время, проведенное в родных краях, стало самым плодотворным периодом его работы.

Уже в 1799 году Гаусс доказывает основную теорему алгебры: «Количество действительных и комплексных корней многочлена равно его степени», исследует комплексные корни из единицы, квадратичные корни и вычеты, выводит и доказывает квадратичный закон взаимности. С этого же года он становится приват-доцентом университета Брауншвейга.

В 1801 году увидела свет книга «Арифметические исследования», где почти на 500 страницах ученый делится своими открытиями. В нее не вошло ни одного незаконченного исследования или сырого материала – все данные максимально точны и доведены до логического вывода.

В это же время он увлекается вопросами астрономии, а точнее математическими приложениями в этой области. Благодаря одному только правильному расчету, Гаусс нашел на бумаге то, что потеряли на небе астрономы – малую планету Цирреру (1801г, Дж. Пиацци). Этим методом было найдено еще несколько планет, в частности, Паллада (1802г, Г.В. Ольберс). Позже Карл Фридрих Гаусс станет автором бесценного труда под название «Теория движения небесных тел» (1809г) и множества исследований в области гипергеометрической функции и сходимости бесконечных рядов.

Браки без расчета

Здесь же, в Брауншвейге, Карл знакомится со своей первой женой – Иоанной Остгоф. Они поженились 22 ноября 1804 года и счастливо прожили на протяжении пяти лет. Иоанна успела родить Гауссу сына Иосифа и дочь Минну. При родах третьего ребенка – Луи – женщина скончалась. Вскоре погиб и сам младенец, и Карл остался один с двумя детьми. В письмах своим товарищам математик не раз утверждал, что эти пять лет в его жизни были «вечной весной», которая, к сожалению, закончилась.

Это несчастье в жизни Гаусса не стало последним. Примерно в то же время от смертельных ран погибает друг и наставник ученого – герцог Брауншвейгский. С тяжелым сердцем Карл покидает родину и возвращается в университет, где принимает кафедру математики и пост директора астрономической лаборатории.

В Геттингене он сближается с дочерью местного советника – Минной, которая была хорошей подругой его покойной жены. 4 августа 1810 года Гаусс женится на девушке, но их брак с самого начала сопровождают ссоры и конфликты. Из-за бурной личной жизни Карл даже отказался от места в Берлинской академии наук Минна родила ученому троих детей – двух сыновей и дочь.

Новые изобретения, открытия и ученики

Высокий пост, который Гаусс занимал в университете, обязывал ученого к преподавательской карьере. Его лекции отличались свежестью взглядов, а сам он был добрым и отзывчивым, что вызывало отклик у студентов. Тем не менее, сам Гаусс преподавать не любил и считал, что, уча других, он тратит свое время попусту.

В 1818 году Карл Фридрих Гаусс одним из первых начинает работу, связанную с неевклидовой геометрией. Побоявшись критики и насмешек, он так и не печатает свои открытия, тем не менее, яро поддерживает Лобачевского. Такая же участь постигла кватернионы, которые первоначально исследовал Гаусс под названием «мутации». Открытие приписали Гамильтону, который опубликовал свои труды, спустя 30 лет после смерти немецкого ученого. Эллиптические функции впервые появились в работах Якоби, Абеля и Коши, хотя основной вклад принадлежал именно Гауссу.

Спустя несколько лет Гаусс увлекается геодезией, проводит съемку Ганноверского королевства с помощью метода наименьших квадратов, описывает действительные формы земной поверхности и изобретает новый прибор – гелиотроп. Несмотря на простоту конструкции (зрительная труба и два плоских зеркала), это изобретения стало новым словом в геодезических измерениях. Результатом исследований в этой области стали труды ученого: «Общие исследования о кривых поверхностях» (1827г) и «Исследования о предметах высшей геодезии» (1842-47гг), а также понятие «гауссовой кривизны», которое дало начало дифференциальной геометрии.

В 1825 году Карл Фридрих совершает еще одно открытие, которое увековечило его имя – гауссовы комплексные числа. Он успешно использует их для решения уравнений высоких степеней, что позволило провести ряд исследований в области вещественных чисел. Основным результатом стал труд «Теория биквадратичных вычетов».

К концу жизни Гаусс изменил свое отношение к преподаванию и стал уделять своим ученикам не только лекционные часы, но и свободное время. Его работы и личный пример оказали огромное влияние на молодых математиков: Римана и Вебера. Дружба с первым привела к созданию «римановой геометрии», а со вторым – к изобретению электромагнитного телеграфа (1833 г).

В 1849 году за заслуги перед университетом, Гаусс был удостоен звания «почетный гражданин Геттингена». К этому времени в круг его друзей уже входят такие известные ученые, как Лобачевский, Лаплас, Ольберс, Гумбольд, Бартельс и Баум.

С 1852 года крепкое здоровье, которое досталось Карлу от отца, дало трещину. Избегая встреч с представителями медицины, Гаусс рассчитывал сам справиться с болезнью, но на этот раз его расчет оказался неверным. Он умер 23 февраля1855 года, в Геттингене, окруженный друзьями и единомышленниками, которые позже наградят его титулом короля математики.

Личность Карла Гаусса

Карл Гаусс был максималистом. Он никогда не публиковал сырые, даже гениальные труды, считая их несовершенными. Из-за этого в ряде многих открытий его опередили другие математики.

Ученый также был полиглотом. Он свободно разговаривал и писал на латыни, английском, французском. А в 62 года освоил русский, чтобы читать в оригинале труды Лобачевского.

Гаусс был дважды женат, стал отцом для шести детей. К сожалению, обе супруги умерли рано, а один из детей погиб в младенчестве.

Памятник Гауссу в Брауншвейге с изображенной на нём 17-лучевой звездой

Скончался Карл Гаусс в Гёттингене 23 февраля 1855 года. В его честь по приказу Короля Ганновера Георга V отчеканили медаль с портретом ученого и его титулом – «король математиков».